Calcolo Esempi

$\int_{0}^{12} \sqrt{36 - {(x - 6)}^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x - 6$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x - 6$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{1} = x - 6$ .

$u_{lower} = 0 - 6$

Passaggio 1.3

Sottrai $6$ da $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{1} = x - 6$ .

$u_{upper} = 12 - 6$

Passaggio 1.5

Sottrai $6$ da $12$ .

$u_{upper} = 6$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = 6$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 6}^{6} \sqrt{36 - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 6 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u_{1} = 6 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ è positivo.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $6 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.3

Moltiplica $36$ per $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $36$ da $36$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $36$ da $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $36$ da $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 \cos^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.6

Riscrivi $36 \cos^{2} (t)$ come ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 6 \cos (t) (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 3.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 3.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Poiché $36$ è costante rispetto a $t$ , sposta $36$ fuori dall'integrale.

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$36 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $36$ .

$\frac{36}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{18}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 7.2.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$18 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$18 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = 2 t$ . Allora $d u_{2} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 10.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = - π$

Passaggio 10.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 10.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 10.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 10.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Passaggio 10.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 11

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 13

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Passaggio 14

$\frac{1}{2}$ e $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Passaggio 15

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 15.1

Calcola $t$ per $\frac{π}{2}$ e per $- \frac{π}{2}$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Passaggio 15.2

Calcola $\sin (u_{2})$ per $π$ e per $- π$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 15.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$18 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 15.3.2

Somma $π$ e $π$ .

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 15.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 15.3.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$18 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$18 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$18 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$18 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$18 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Passaggio 16.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$18 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Passaggio 16.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$18 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Passaggio 16.1.6

Somma $0$ e $0$ .

$18 (π + \frac{0}{2})$

Passaggio 16.2

Dividi $0$ per $2$ .

$18 (π + 0)$

Passaggio 17

Somma $π$ e $0$ .

$18 π$

Passaggio 18

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$18 π$

Forma decimale:

$56.54866776 \dots$

Passaggio 19