Calcolo Esempi

\int 4 ({tan}^{2} (x) + {tan}^{4} (x)) d x

$\int 4 (\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)) d x$

Passaggio 1

Poiché

$4$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\int \tan^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Passaggio 3

Usando l'identità pitagorica, riscrivi

$\tan^{2} (x)$ come

$- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 (\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$4 (- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Passaggio 6

Poiché la derivata di

$\tan (x)$ è

$\sec^{2} (x)$ , l'integrale di

$\sec^{2} (x)$ è

$\tan (x)$ .

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int \tan^{4} (x) d x)$

Passaggio 7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {\tan (x)}^{2 (2)} d x)$

Passaggio 7.2

Riscrivi

${\tan (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x)$

Passaggio 8

Usando l'identità pitagorica, riscrivi

$\tan^{2} (x)$ come

$- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x)$

Passaggio 9

Semplifica.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x)$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma

$- x$ e

$x$ .

$4 (C + \tan (x) + C + 0 + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Passaggio 12.2

Somma

$C + \tan (x) + C$ e

$0$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Passaggio 13

Poiché

$- 2$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$- 2$ fuori dall'integrale.

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Passaggio 14

Poiché la derivata di

$\tan (x)$ è

$\sec^{2} (x)$ , l'integrale di

$\sec^{2} (x)$ è

$\tan (x)$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x)$

Passaggio 15

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Riscrivi

$4$ come

$2$ più

$2$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x)$

Passaggio 15.2

Riscrivi

${\sec (x)}^{2 + 2}$ come

$\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x)$

Passaggio 16

Usando l'identità pitagorica, riscrivi

$\sec^{2} (x)$ come

$1 + \tan^{2} (x)$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x)$

Passaggio 17

Sia

$u = \tan (x)$ . Allora

$d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi

$\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando

$u$ e

$d$

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sia

$u = \tan (x)$ . Trova

$\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Differenzia

$\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 17.1.2

La derivata di

$\tan (x)$ rispetto a

$x$ è

$\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 17.2

Riscrivi il problema usando

$u$ e

$d u$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u)$

Passaggio 18

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u)$

Passaggio 19

Applica la regola costante.

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u)$

Passaggio 20

Secondo la regola della potenza, l'intero di

$u^{2}$ rispetto a

$u$ è

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

$\frac{1}{3}$ e

$u^{3}$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Passaggio 21.2

Semplifica.

$4 (- \tan (x) + u + \frac{u^{3}}{3}) + C$

Passaggio 22

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$\tan (x)$ .

$4 (- \tan (x) + \tan (x) + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Passaggio 23

Somma

$- \tan (x)$ e

$\tan (x)$ .

$4 (0 + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Passaggio 24

Riordina i termini.

$4 (0 + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$