Calcolo Esempi

$y = {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$

Passaggio 1

Moltiplica gli esponenti in ${(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$ .

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Passaggio 1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x^{3} + 7)}^{5 \cdot 9}]$

Passaggio 1.2

Moltiplica $5$ per $9$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{45} (x^{3} + 7)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{45}$ e $g (x) = \sin (x^{3} + 7)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (x^{3} + 7)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{45}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 45$ .

$45 {u_{1}}^{44} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (x^{3} + 7)$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{3} + 7$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{3} + 7$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{3} + 7$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\cos (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 4.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + 0)$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.4.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2})$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $3$ per $45$ .

$135 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$

Passaggio 4.4.3

Riordina i fattori di $135 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$ .

$135 x^{2} \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7)$