Calcolo Esempi

$y = \frac{\tan (2 x)}{1 - \cot (2 x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \tan (2 x)$ e $g (x) = 1 - \cot (2 x)$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) \cdot 2 - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x)) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cot (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.6

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cot (2 x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (- \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.8

Moltiplica.

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Passaggio 3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + 1 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $\tan (2 x)$ per $1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata di $\cot (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cot (2 x))) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 \sec^{2} (2 x) + 2 (- \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) + 2 (- \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) - 2 \cot (2 x) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) - 2 \cot (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \tan (2 x) \csc^{2} (2 x)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Passaggio 6.4

Riordina i termini.

$\frac{- 2 \sec^{2} (2 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$