Calcolo Esempi

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{\sqrt{4 x - 4} - x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 3 x - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $10$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2^{2} + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{4 + 6 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$\frac{4 + 6 - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Somma $4$ e $6$ .

$\frac{10 - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Sottrai $10$ da $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 x - 4} - lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 1.1.3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 1.1.3.4

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 1.1.3.5

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 1.1.3.6

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - 2}$

Passaggio 1.1.3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.7.1.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{8 - 1 \cdot 4} - 2}$

Passaggio 1.1.3.7.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{8 - 4} - 2}$

Passaggio 1.1.3.7.1.3

Sottrai $4$ da $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - 2}$

Passaggio 1.1.3.7.1.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 2}$

Passaggio 1.1.3.7.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{0}{2 - 2}$

Passaggio 1.1.3.7.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.7.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.8

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{\sqrt{4 x - 4} - x} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x - 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $2 x + 3$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{4 x - 4} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 x - 4}$ come ${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.12

Moltiplica $4$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.13

Somma $4$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.14

$\frac{1}{2}$ e ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.15

$\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.16

Sposta $4$ alla sinistra di ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{4 \cdot {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.17

Sposta ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{4}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.18

Scomponi $2$ da $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.19.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.19.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8.19.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.9.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.9.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - 1}$

Passaggio 1.4

Riscrivi ${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{4 x - 4}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} - 1}$

Passaggio 1.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

Passaggio 1.5.2

$- 1$ e $\frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} + \frac{- \sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

Passaggio 1.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 - \sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

Passaggio 2

Poiché la funzione tende a $\infty$ da sinistra e a $- \infty$ da destra, il limite non esiste.

$Non esiste$