Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (a x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = a x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $a x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [a x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $a x$ .

$\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (a x) (a \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $a$ per $1$ .

$\cos (a x) a$

Passaggio 1.2.3.2

Riordina i fattori di $\cos (a x) a$ .

$f' (x) = a \cos (a x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a \cos (a x)$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = a x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $a x$ .

$a (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$a (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $a x$ .

$a (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Passaggio 2.3

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.4

Eleva $a$ alla potenza di $1$ .

$a^{1} a (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.5

Eleva $a$ alla potenza di $1$ .

$a^{1} a^{1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a^{1 + 1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) \cdot 1)$

Passaggio 2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x))$

Passaggio 2.9.2

Riordina i fattori di $a^{2} (- \sin (a x))$ .

$f'' (x) = - a^{2} \sin (a x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Poiché $- a^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- a^{2} \sin (a x)$ rispetto a $x$ è $- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ .

$- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = a x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $a x$ .

$- a^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$- a^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $a x$ .

$- a^{2} (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Passaggio 3.3

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$- a^{2} (\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.4

Eleva $a$ alla potenza di $1$ .

$- (a^{1} a^{2}) (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- a^{1 + 2} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $2$ .

$- a^{3} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- a^{3} (\cos (a x) \cdot 1)$

Passaggio 3.8

Moltiplica $\cos (a x)$ per $1$ .

$f''' (x) = - a^{3} \cos (a x)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

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Passaggio 4.1

Poiché $- a^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- a^{3} \cos (a x)$ rispetto a $x$ è $- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = a x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $a x$ .

$- a^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Passaggio 4.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- a^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $a x$ .

$- a^{3} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $a^{3}$ per $1$ .

$a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Passaggio 4.3.3

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a^{3} (\sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4.4

Moltiplica $a^{3}$ per $a$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.4.1

Sposta $a$ .

$a \cdot a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $a$ per $a^{3}$ .

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Passaggio 4.4.2.1

Eleva $a$ alla potenza di $1$ .

$a^{1} a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a^{1 + 3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4.4.3

Somma $1$ e $3$ .

$a^{4} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$a^{4} (\sin (a x) \cdot 1)$

Passaggio 4.6

Moltiplica $\sin (a x)$ per $1$ .

$f^{4} (x) = a^{4} \sin (a x)$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $a^{4} \sin (a x)$ .

$a^{4} \sin (a x)$