Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\infty} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Passaggio 2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{0}^{t} \frac{1}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x + 4$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = x + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $4$ .

$u_{lower} = 4$

Passaggio 3.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x + 4$ .

$u_{upper} = t + 4$

Passaggio 3.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 4$

Passaggio 3.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} \frac{1}{u^{4}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} {(u^{4})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{4 \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{- 4} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 4}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} u^{- 3}]_{4}^{t + 4})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$u^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{u^{- 3}}{3}]_{4}^{t + 4})$

Passaggio 6.2

Sposta $u^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 u^{3}}]_{4}^{t + 4})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $- \frac{1}{3 u^{3}}$ per $t + 4$ e per $4$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 4^{3}})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 64})$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $3$ per $64$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192})$

Passaggio 8

Calcola il limite.

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Passaggio 8.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192}$

Passaggio 8.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Passaggio 8.1.3

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Passaggio 8.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{{(t + 4)}^{3}}$ tende a $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Passaggio 8.3

Calcola il limite.

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Passaggio 8.3.1

Calcola il limite di $\frac{1}{192}$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{192})$

Passaggio 8.3.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Passaggio 8.3.2.1.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{192})$

Passaggio 8.3.2.1.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{192})$

Passaggio 8.3.2.2

Somma $0$ e $\frac{1}{192}$ .

$5 (\frac{1}{192})$

Passaggio 8.3.2.3

$5$ e $\frac{1}{192}$ .

$\frac{5}{192}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{5}{192}$

Forma decimale:

$0.026041\overline{6}$