Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} (\arctan (\sqrt{x}))$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Semplifica.

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 11

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 12

Moltiplica $\frac{1}{1 + x}$ per $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x) \cdot 2}$

Passaggio 13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 13.1

Sposta $2$ alla sinistra di $1 + x$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x)}$

Passaggio 13.2

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x) x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{(2 \cdot 1 + 2 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 14.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 14.3.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Passaggio 14.3.2.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 14.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Passaggio 14.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 14.3.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 14.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 14.3.2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 14.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 14.4.1

Scomponi $2 x^{\frac{1}{2}}$ da $2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 14.4.1.1

Scomponi $2 x^{\frac{1}{2}}$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 14.4.1.2

Scomponi $2 x^{\frac{1}{2}}$ da $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 14.4.1.3

Scomponi $2 x^{\frac{1}{2}}$ da $2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 14.4.2

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{1})}$

Passaggio 14.4.3

Semplifica.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$