Calcolo Esempi

$y = x^{2} - 1$ , $y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$

Passaggio 1.2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Rimuovi le parentesi.

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.2.2.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2} + 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica per $x^{2} + 1$ ciascun termine in $x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica ogni termine in $x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ per $x^{2} + 1$ .

$x^{2} (x^{2} + 1) = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.3.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} + x^{2} = 3 + 1 (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.3.3.1.2

Moltiplica $x^{2} + 1$ per $1$ .

$x^{4} + x^{2} = 3 + x^{2} + 1$

Passaggio 1.2.3.3.2

Somma $3$ e $1$ .

$x^{4} + x^{2} = x^{2} + 4$

Passaggio 1.2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{4} + x^{2} - x^{2} = 4$

Passaggio 1.2.4.1.2

Combina i termini opposti in $x^{4} + x^{2} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$x^{4} + 0 = 4$

Passaggio 1.2.4.1.2.2

Somma $x^{4}$ e $0$ .

$x^{4} = 4$

Passaggio 1.2.4.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{4}$

Passaggio 1.2.4.3

Semplifica $\pm \sqrt[4]{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{2^{2}}$

Passaggio 1.2.4.3.2

Riscrivi $\sqrt[4]{2^{2}}$ come $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$x = \pm \sqrt{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 1.2.4.3.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.4.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.4.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.4.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $\sqrt{2}$ a $x$ .

$y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $\sqrt{2}$ a $x$ in $y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica $\frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{3}{2^{1} + 1}$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{3}{2 + 1}$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$y = \frac{3}{3}$

Passaggio 1.3.2.2.2

Dividi $3$ per $3$ .

$y = 1$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} - 1 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- \sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - (x^{2} - 1) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} - - 1$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1 d x$

Passaggio 3.3

Per scrivere $- x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Passaggio 3.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

$- x^{2}$ e $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

Passaggio 3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 - x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{3 - (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Passaggio 3.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 - x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Passaggio 3.5.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{3 - x^{4} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3 - x^{4} - x^{2}}{x^{2} + 1} + 1$

Passaggio 3.5.4

Riordina i termini.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Passaggio 3.6

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- x^{4} + 0 + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.7.2

Somma $- x^{4}$ e $0$ .

$\frac{- x^{4} + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.7.3

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.7.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{- x^{4} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.7.5

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{- {(x^{2})}^{2} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.7.6

Riordina $- {(x^{2})}^{2}$ e $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - {(x^{2})}^{2}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.7.7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = x^{2}$ .

$\frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.8

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 (2 - x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.9

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.10

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Riordina $x^{2}$ e $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.11.2

Riordina $x^{2}$ e $- 1$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} - 1 \cdot x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.11.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.11.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.12

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - (x^{2} x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{2 + 2}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.14

Somma $2$ e $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.15

Somma $- 2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 0 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.16

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.1

Sottrai $x^{4}$ da $0$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.16.2

Riordina $4$ e $- x^{4}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.17

Dividi $- x^{4} + 4$ per $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Passaggio 3.17.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Passaggio 3.17.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Passaggio 3.17.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{4} + 0 - x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Passaggio 3.17.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Passaggio 3.17.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Passaggio 3.17.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Passaggio 3.17.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

Passaggio 3.17.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 0 + 1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

Passaggio 3.17.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

$3$

Passaggio 3.17.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} + 1 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.18

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.19

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.20

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.21

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.22

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.23

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.24

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.24.1

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3.24.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 3.25

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Passaggio 3.26

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.26.1

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.26.1.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $\sqrt{2}$ e per $- \sqrt{2}$ .

$- ((\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Passaggio 3.26.1.2

Calcola $x$ per $\sqrt{2}$ e per $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Passaggio 3.26.1.3

Calcola $\arctan (x)$ per $\sqrt{2}$ e per $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Passaggio 3.26.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.26.1.4.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Passaggio 3.26.1.4.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Passaggio 3.26.1.4.3

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Passaggio 3.26.1.4.4

Applica la regola del prodotto a $- (\sqrt{2})$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Passaggio 3.26.1.4.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Passaggio 3.26.1.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Passaggio 3.26.1.4.7

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Passaggio 3.26.1.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Passaggio 3.26.1.4.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Passaggio 3.26.1.4.10

Moltiplica $\frac{\sqrt{8}}{3}$ per $1$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Passaggio 3.26.1.4.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Passaggio 3.26.1.4.12

Somma $\sqrt{8}$ e $\sqrt{8}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Passaggio 3.26.1.4.13

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 2 \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Passaggio 3.26.1.4.14

Per scrivere $3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot \frac{3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.1.4.15

$3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \frac{3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.1.4.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.1.4.17

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.26.2.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.26.2.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{- 2 \sqrt{4 (2)} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.2.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{- 2 (2 \sqrt{2}) + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.26.3.1

Calcola $\arctan (- \sqrt{2})$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - - 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 0.95531661$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.3.3

Calcola $\arctan (\sqrt{2})$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (0.95531661 + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.3.4

Somma $0.95531661$ e $0.95531661$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 \cdot 1.91063323}{3} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.3.5

Moltiplica $9$ per $1.91063323$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 17.19569912}{3} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.3.6

Somma $- 4 \sqrt{2}$ e $17.19569912$ .

$\frac{11.53884487}{3} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.3.7

Dividi $11.53884487$ per $3$ .

$3.84628162 + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.26.3.8

Somma $3.84628162$ e $2 \sqrt{2}$ .

$6.67470875$

Passaggio 4