Calcolo Esempi

$y = \cos (5 x^{2} - x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\cos (5 x^{2} - x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x^{2} - x$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x^{2} - x$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 3.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$