Calcolo Esempi

$f (x) = 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x)$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x) d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 5 \sin (\frac{x}{5}) d x + \int \cos (2 x) d x$

Passaggio 4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int \sin (\frac{x}{5}) d x + \int \cos (2 x) d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = \frac{x}{5}$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{5} d x$ , quindi $5 d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = \frac{x}{5}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $\frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$\frac{1}{5}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$5 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{5}} d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{5}$ .

$5 \int \sin (u_{1}) (1 \cdot 5) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 \int \sin (u_{1}) \cdot 5 d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Passaggio 6.3

Sposta $5$ alla sinistra di $\sin (u_{1})$ .

$5 \int 5 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Passaggio 7

Poiché $5$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 (5 \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int \cos (2 x) d x$

Passaggio 8

Moltiplica $5$ per $5$ .

$25 \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \cos (u_{1})$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (2 x) d x$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = 2 x$ . Allora $d u_{2} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 11

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 13

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

$- 25 \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{5}$ .

$- 25 \cos (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$- 25 \cos (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$- 25 \cos (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Passaggio 17

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x)$ .

$F (x) =$ $- 25 \cos (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$