Calcolo Esempi

$f (θ) = \sin (θ + \frac{π}{3})$ ,

$θ = 0$

Passaggio 1

Considera la funzione usata per trovare la linearizzazione in

$a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Passaggio 2

Sostituisci il valore di

$a = 0$ nella funzione di linearizzazione.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Passaggio 3

Calcola

$f (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile

$θ$ con

$0$ nell'espressione.

$f (0) = \sin ((0) + \frac{π}{3})$

Passaggio 3.2

Semplifica

$\sin ((0) + \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\sin ((0) + \frac{π}{3})$

Passaggio 3.2.2

Somma

$0$ e

$\frac{π}{3}$ .

$\sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.2.3

Il valore esatto di

$\sin (\frac{π}{3})$ è

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4

Trova la derivata e calcolala con

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata di

$f (θ) = \sin (θ + \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

$\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è

$f' (g (θ)) g' (θ)$ dove

$f (θ) = \sin (θ)$ e

$g (θ) = θ + \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$θ + \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Passaggio 4.1.1.2

La derivata di

$\sin (u)$ rispetto a

$u$ è

$\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$θ + \frac{π}{3}$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$θ + \frac{π}{3}$ rispetto a

$θ$ è

$\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}]$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è

$n θ^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché

$\frac{π}{3}$ è costante rispetto a

$θ$ , la derivata di

$\frac{π}{3}$ rispetto a

$θ$ è

$0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (1 + 0)$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Somma

$1$ e

$0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica

$\cos (θ + \frac{π}{3})$ per

$1$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3})$

Passaggio 4.2

Sostituisci la variabile

$θ$ con

$0$ nell'espressione.

$\cos ((0) + \frac{π}{3})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma

$0$ e

$\frac{π}{3}$ .

$\cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.2

Il valore esatto di

$\cos (\frac{π}{3})$ è

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 5

Sostituisci i componenti nella funzione di linearizzazione per trovare la linearizzazione a

$a$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (x - 0)$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sottrai

$0$ da

$x$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} x$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e

$x$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2}$

Passaggio 7