Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{4} x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$\frac{3}{4} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

$- 2$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{- 6}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.5

$\frac{- 6}{4}$ e $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.6

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.7

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{2 (- 3)}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 3)}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.3.3

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.3.4

$\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.3.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.3.5.2.4

Dividi $2 x^{3}$ per $1$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - (3 x^{2})$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- \frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{2 x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.4.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Passaggio 2.4.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Passaggio 2.4.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{2 - 6})$

Passaggio 2.4.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 2.4.8

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$6 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{3}{2}) x^{- 4}$

Passaggio 2.4.9

$3$ e $\frac{3}{2}$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{3 \cdot 3}{2} x^{- 4}$

Passaggio 2.4.10

Moltiplica $3$ per $3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} x^{- 4}$

Passaggio 2.4.11

$\frac{9}{2}$ e $x^{- 4}$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9 x^{- 4}}{2}$

Passaggio 2.4.12

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$12 x - 6 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $\frac{9}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9}{2 x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 3.4.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Passaggio 3.4.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Passaggio 3.4.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 3.4.8

$- 4$ e $\frac{9}{2}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 4 \cdot 9}{2} x^{- 5}$

Passaggio 3.4.9

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2} x^{- 5}$

Passaggio 3.4.10

$\frac{- 36}{2}$ e $x^{- 5}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36 x^{- 5}}{2}$

Passaggio 3.4.11

Sposta $x^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2 x^{5}}$

Passaggio 3.4.12

Elimina il fattore comune di $- 36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.1

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Passaggio 3.4.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{5}$ .

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{5})}$

Passaggio 3.4.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Passaggio 3.4.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$12 x - 6 + \frac{- 18}{x^{5}}$

Passaggio 3.4.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$12 x - 6 - \frac{18}{x^{5}}$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$f''' (x) = 12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$

Passaggio 4

La derivata terza di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$ .

$12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$