Calcolo Esempi

$\int \frac{2 \sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{\sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$2 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , quindi $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 3.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 3.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.1.8

Semplifica.

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Passaggio 3.1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int 2 \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 (2 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6

Metti in evidenza $\sin^{2} (u_{1})$ .

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 7

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (u_{1})$ come $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$4 \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Passaggio 8.1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$4 (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$4 (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

$\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{3}$ .

$4 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

Passaggio 12.2

Semplifica.

$4 (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Passaggio 13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (u_{1})$ .

$4 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

Passaggio 13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})) + C$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

$\frac{1}{3}$ e $\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$4 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}) + C$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (- \cos (x^{\frac{1}{2}})) + 4 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Passaggio 14.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + 4 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Passaggio 14.4

$4$ e $\frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}$ .

$- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4 \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}}) + C$