Calcolo Esempi

$y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2} = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' + y' + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 5 (2 x)$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 10 x$

Passaggio 2.6

Riordina i termini.

$3 y^{2} y' - 4 y y' + 10 x + y'$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 y^{2} y' - 4 y y' + 10 x + y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $10 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' - 4 y y' + y' = - 10 x$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y' - 4 y y' + y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 4 y y' + y' = - 10 x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $- 4 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' = - 10 x$

Passaggio 5.2.3

Eleva $y'$ alla potenza di $1$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' = - 10 x$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' \cdot 1 = - 10 x$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y)$ .

$y' (3 y^{2} - 4 y) + y' \cdot 1 = - 10 x$

Passaggio 5.2.6

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2} - 4 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 10 x$

Passaggio 5.3

Scomponi.

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Passaggio 5.3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.3.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e la cui somma è $b = - 4$ .

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Passaggio 5.3.1.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 y$ .

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 10 x$

Passaggio 5.3.1.1.2

Riscrivi $- 4$ come $- 1$ più $- 3$ .

$y' (3 y^{2} + (- 1 - 3) y + 1) = - 10 x$

Passaggio 5.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y' (3 y^{2} - 1 y - 3 y + 1) = - 10 x$

Passaggio 5.3.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.3.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y' ((3 y^{2} - 1 y) - 3 y + 1) = - 10 x$

Passaggio 5.3.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y' (y (3 y - 1) - (3 y - 1)) = - 10 x$

Passaggio 5.3.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 y - 1$ .

$y' ((3 y - 1) (y - 1)) = - 10 x$

Passaggio 5.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$

Passaggio 5.4

Dividi per $(3 y - 1) (y - 1)$ ciascun termine in $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $(3 y - 1) (y - 1)$ ciascun termine in $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$ .

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3 y - 1$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

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Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$