Calcolo Esempi

$y = x^{2} - x \cos (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - x \cos (x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 x - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$2 x - (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - (x (- \sin (x))) - \cos (x)$

Passaggio 3.3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 x + 1 (x (\sin (x))) - \cos (x)$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 x + x \sin (x) - \cos (x)$

Passaggio 3.3.3

Riordina i termini.

$x \sin (x) + 2 x - \cos (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = x \sin (x) + 2 x - \cos (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \sin (x) + 2 x - \cos (x)$