Calcolo Esempi

$\int_{0}^{5} π {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

Passaggio 1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , sposta $π$ fuori dall'integrale.

$π \int_{0}^{5} {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

Passaggio 2

Sia $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . Allora $d u = - \frac{4}{5} d x$ , quindi $- \frac{5}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $\frac{20 - 4 x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{20 - 4 x}{5}]$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4$ da $20 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) - 4 x}{5}]$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) + 4 (- x)}{5}]$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $4$ da $4 (5) + 4 (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5 - x)}{5}]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $\frac{4}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 (5 - x)}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Passaggio 2.1.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.1.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4}{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.1.6

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4}{5} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.1.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot - 1$

Passaggio 2.1.9.2

$\frac{4}{5}$ e $- 1$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{5}$

Passaggio 2.1.9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.3.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{- 4}{5}$

Passaggio 2.1.9.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{5}$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .

$u_{lower} = \frac{20 - 4 \cdot 0}{5}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $20 - 4 \cdot 0$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi $20$ come $- 1 (- 20)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 0}{5}$

Passaggio 2.3.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 4 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)}{5}$

Passaggio 2.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 0)}{5}$

Passaggio 2.3.1.4

Riordina i termini.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)}{5}$

Passaggio 2.3.1.5

Scomponi $5$ da $- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)$ .

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5}$

Passaggio 2.3.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.6.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 (1)}$

Passaggio 2.3.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)}{1}$

Passaggio 2.3.1.6.4

Dividi $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ per $1$ .

$u_{lower} = - 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ come $- (- 4 + 0 \cdot 4)$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0 \cdot 4)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $0$ per $4$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0)$

Passaggio 2.3.4

Somma $- 4$ e $0$ .

$u_{lower} = - - 4$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$u_{lower} = 4$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .

$u_{upper} = \frac{20 - 4 \cdot 5}{5}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune di $20 - 4 \cdot 5$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Riscrivi $20$ come $- 1 (- 20)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 5}{5}$

Passaggio 2.5.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 4 \cdot 5$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)}{5}$

Passaggio 2.5.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 5)}{5}$

Passaggio 2.5.1.4

Riordina i termini.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 \cdot 5 - 20)}{5}$

Passaggio 2.5.1.5

Scomponi $5$ da $- 1 (4 \cdot 5 - 20)$ .

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5}$

Passaggio 2.5.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.6.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 (1)}$

Passaggio 2.5.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 - 4)}{1}$

Passaggio 2.5.1.6.4

Dividi $- 1 (4 - 4)$ per $1$ .

$u_{upper} = - 1 (4 - 4)$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi $- 1 (4 - 4)$ come $- (4 - 4)$ .

$u_{upper} = - (4 - 4)$

Passaggio 2.5.3

Sottrai $4$ da $4$ .

$u_{upper} = - 0$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{4}{5}} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{4}{5}} d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{4}{5}$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} (1 (\frac{5}{4})) d u$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{5}{4}$ per $1$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{5}{4} d u$

Passaggio 3.4

$\frac{5}{4}$ e $u^{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{5 u^{2}}{4} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{5 u^{2}}{4} d u)$

Passaggio 5

Poiché $\frac{5}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{5}{4}$ fuori dall'integrale.

$π (- (\frac{5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$π$ e $\frac{5}{4}$ .

$- \frac{π \cdot 5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Passaggio 6.2

Sposta $5$ alla sinistra di $π$ .

$- \frac{5 π}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $\frac{1}{3} u^{3}$ per $0$ e per $4$ .

$- \frac{5 π}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Passaggio 8.2.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 8.2.5

$- 64$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 + \frac{- 64}{3})$

Passaggio 8.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{64}{3})$

Passaggio 8.2.7

Sottrai $\frac{64}{3}$ da $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (- \frac{64}{3})$

Passaggio 8.2.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{5 π}{4} \frac{64}{3}$

Passaggio 8.2.9

Moltiplica $\frac{5 π}{4}$ per $1$ .

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{64}{3}$

Passaggio 8.2.10

Moltiplica $\frac{5 π}{4}$ per $\frac{64}{3}$ .

$\frac{5 π \cdot 64}{4 \cdot 3}$

Passaggio 8.2.11

Moltiplica $64$ per $5$ .

$\frac{320 π}{4 \cdot 3}$

Passaggio 8.2.12

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{320 π}{12}$

Passaggio 8.2.13

Elimina il fattore comune di $320$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.13.1

Scomponi $4$ da $320 π$ .

$\frac{4 (80 π)}{12}$

Passaggio 8.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.13.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{4 (80 π)}{4 (3)}$

Passaggio 8.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (80 π)}{4 \cdot 3}$

Passaggio 8.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{80 π}{3}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{80 π}{3}$

Forma decimale:

$83.77580409 \dots$

Passaggio 10