Calcolo Esempi

$(\arcsin (e^{5 x}))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = e^{5 x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{5 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arcsin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{5 x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{5 x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{5 x})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{5 x \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

$e^{5 x}$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$ .

$\frac{e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 4.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

$5$ e $\frac{e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \cdot 1$

Passaggio 4.5

Moltiplica $\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$ per $1$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$