Calcolo Esempi

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.9

$3$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.12

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.13.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.5.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.11

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.13

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.13.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.13.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.14

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.15

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.16

$- 2$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$