Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 1} \frac{2 + 2 x}{e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 + 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Passaggio 1.2.1.2

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{2 + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Passaggio 1.2.1.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Passaggio 1.3.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Passaggio 1.3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Passaggio 1.3.4

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Passaggio 1.3.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Passaggio 1.3.6

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x} + {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Passaggio 1.3.7

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 \cdot - 1} + {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Passaggio 1.3.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 \cdot - 1} + {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 1.3.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 2 + 2} + {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 1.3.8.1.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{e^{0} + {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 1.3.8.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 1.3.8.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.3.8.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.8.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.9

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 + 2 x}{e^{- 2 - 2 x} + x^{3}} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{- 2 - 2 x} + x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.7.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.7.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.7.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.7.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.7.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.7.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.7.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.7.7

Sottrai $2$ da $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.7.8

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- 2 - 2 x}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{- 2 e^{- 2 - 2 x} + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{- 2 e^{- 2 - 2 x} + 3 x^{2}}$

Passaggio 3.9

Riordina i termini.

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Passaggio 4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to - 1} \frac{1}{3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Passaggio 7

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Passaggio 8

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Passaggio 9

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Passaggio 10

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x}}$

Passaggio 11

Sposta il limite nell'esponente.

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x}}$

Passaggio 12

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x}}$

Passaggio 13

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x}}$

Passaggio 14

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x}}$

Passaggio 15

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x}}$

Passaggio 15.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Passaggio 16

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$2 \frac{1}{3 \cdot 1 - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Passaggio 16.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Passaggio 16.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{- 2 + 2}}$

Passaggio 16.1.4

Somma $- 2$ e $2$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{0}}$

Passaggio 16.1.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 \cdot 1}$

Passaggio 16.1.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2}$

Passaggio 16.1.7

Sottrai $2$ da $3$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Passaggio 16.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{1}{1})$

Passaggio 16.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 1$

Passaggio 16.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$