Calcolo Esempi

$\frac{1}{e^{x} + 1}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{e^{x} + 1}$ come ${(e^{x} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} + 1)}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = e^{x} + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x} + 1$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Passaggio 3

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} (e^{x} + 0)$

Passaggio 5.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} e^{x}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(e^{x} + 1)}^{2}} e^{x}$

Passaggio 6.2

$e^{x}$ e $\frac{1}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$