Calcolo Esempi

$x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y = 7$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y) = \frac{d}{d x} (7)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2} y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 y$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) - 4 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) - 4 y'$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y') + 2 (2 y x) - 4 y'$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 y x - 4 y'$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y'$

Passaggio 3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $4 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y' - 4 y' = - 3 x^{2} - 4 x y$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 y'$ da $2 x^{2} y' - 4 y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 y'$ da $2 x^{2} y'$ .

$2 y' x^{2} - 4 y' = - 3 x^{2} - 4 x y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 y'$ da $- 4 y'$ .

$2 y' x^{2} + 2 y' \cdot - 2 = - 3 x^{2} - 4 x y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 y'$ da $2 y' x^{2} + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 (x^{2} - 2)$ ciascun termine in $2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 (x^{2} - 2)$ ciascun termine in $2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$ .

$\frac{2 y' (x^{2} - 2)}{2 (x^{2} - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y' (x^{2} - 2)}{2 (x^{2} - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 2$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

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Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 4 x y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.3.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 (x^{2} - 2)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{2 x y}{x^{2} - 2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y \cdot 2}{(x^{2} - 2) \cdot 2}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(x^{2} - 2) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.3.5.1

Scomponi $x$ da $- 3 x^{2} - 2 x y \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1.1

Scomponi $x$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) - 2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.3.5.1.2

Scomponi $x$ da $- 2 x y \cdot 2$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) + x (- 2 y \cdot 2)}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.3.5.1.3

Scomponi $x$ da $x (- 3 x) + x (- 2 y \cdot 2)$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 2 y \cdot 2)}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.3.6

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 5.3.3.6.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Scomponi $- 1$ da $- 4 y$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - (4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (3 x) - (4 y)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x + 4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.3.6.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.6.4.1

Riscrivi $- (3 x + 4 y)$ come $- 1 (3 x + 4 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 5.3.3.6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x (3 x + 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x + 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$