Calcolo Esempi

$\frac{\log_{5} (x)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \log_{5} (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)] - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)] - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)] - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3

La derivata di $\log_{5} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x \ln (5)}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x \ln (5)}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $x$ da $x \ln (5)$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x (\ln (5))} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ per $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{\ln (5)}{\ln (5)} \cdot \frac{\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1

Combina.

$\frac{\ln (5) (\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\ln (5) \frac{x}{\ln (5)} + \ln (5) (- \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

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Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (5) \frac{x}{\ln (5)} + \ln (5) (- \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x + \ln (5) (- \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x + \ln (5) (- \log_{5} (x) (2 x))}{\ln (5) x^{4}}$

Passaggio 8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x + \ln (5) (- 2 \log_{5} (x) x)}{\ln (5) x^{4}}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1.1

Semplifica $- 2 \log_{5} (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{x + \ln (5) (- \log_{5} (x^{2}) x)}{\ln (5) x^{4}}$

Passaggio 9.1.2

Riordina i fattori in $x + \ln (5) (- \log_{5} (x^{2}) x)$ .

$\frac{x - x \ln (5) \log_{5} (x^{2})}{\ln (5) x^{4}}$

Passaggio 9.2

Riordina i termini.

$\frac{- x \ln (5) \log_{5} (x^{2}) + x}{x^{4} \ln (5)}$

Passaggio 9.3

Scomponi $x$ da $- x \ln (5) \log_{5} (x^{2}) + x$ .

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Passaggio 9.3.1

Scomponi $x$ da $- x \ln (5) \log_{5} (x^{2})$ .

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x}{x^{4} \ln (5)}$

Passaggio 9.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x^{1}}{x^{4} \ln (5)}$

Passaggio 9.3.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x \cdot 1}{x^{4} \ln (5)}$

Passaggio 9.3.4

Scomponi $x$ da $x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x \cdot 1$ .

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2}) + 1)}{x^{4} \ln (5)}$

Passaggio 9.4

Espandi $\log_{5} (x^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$\frac{x (- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1)}{x^{4} \ln (5)}$

Passaggio 9.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.5.1

Scomponi $x$ da $x^{4} \ln (5)$ .

$\frac{x (- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (5))}$

Passaggio 9.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (5))}$

Passaggio 9.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1}{x^{3} \ln (5)}$

Passaggio 9.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (5) \log_{5} (x) + 1}{x^{3} \ln (5)}$

Passaggio 9.7

Scomponi $- 1$ da $- 2 \ln (5) \log_{5} (x)$ .

$\frac{- (2 \ln (5) \log_{5} (x)) + 1}{x^{3} \ln (5)}$

Passaggio 9.8

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \ln (5) \log_{5} (x)) - 1 (- 1)}{x^{3} \ln (5)}$

Passaggio 9.9

Scomponi $- 1$ da $- (2 \ln (5) \log_{5} (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)}{x^{3} \ln (5)}$

Passaggio 9.10

Riscrivi $- (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)$ come $- 1 (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)}{x^{3} \ln (5)}$

Passaggio 9.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1}{x^{3} \ln (5)}$