Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{15 ({(h - 8)}^{2} - 64)}{h}$

Passaggio 1

Sposta il termine $15$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{{(h - 8)}^{2} - 64}{h}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$15 \frac{lim_{h \to 0} {(h - 8)}^{2} - 64}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$15 \frac{lim_{h \to 0} {(h - 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta l'esponente $2$ da ${(h - 8)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.1.4

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.1.5

Calcola il limite di $64$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$15 \frac{{(0 - 1 \cdot 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$15 \frac{{(0 - 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Sottrai $8$ da $0$ .

$15 \frac{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.3.1.3

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$15 \frac{64 - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$15 \frac{64 - 64}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Sottrai $64$ da $64$ .

$15 \frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$15 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$15 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{{(h - 8)}^{2} - 64}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 8)}^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 8)}^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi ${(h - 8)}^{2}$ come $(h - 8) (h - 8)$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(h - 8) (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.3

Espandi $(h - 8) (h - 8)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h (h - 8) - 8 (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 8 - 8 (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 8 - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.4.1.1

Moltiplica $h$ per $h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} + h \cdot - 8 - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.1.2

Sposta $- 8$ alla sinistra di $h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 8 \cdot h - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.1.3

Moltiplica $- 8$ per $- 8$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 8 h - 8 h + 64 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.2

Sottrai $8 h$ da $- 8 h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 16 h + 64 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $h^{2} - 16 h + 64 - 64$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.7

Calcola $\frac{d}{d h} [- 16 h]$ .

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Passaggio 2.3.7.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- 16 h$ rispetto a $h$ è $- 16 \frac{d}{d h} [h]$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.7.3

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.8

Poiché $64$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $64$ rispetto a $h$ è $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0 + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.9

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- 64$ rispetto a $h$ è $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.10

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.3.10.1

Somma $2 h - 16$ e $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.10.2

Somma $2 h - 16$ e $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16}{1}$

Passaggio 2.4

Dividi $2 h - 16$ per $1$ .

$15 lim_{h \to 0} 2 h - 16$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$15 (lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 16)$

Passaggio 3.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$15 (2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 16)$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $16$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$15 (2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 16)$

Passaggio 4

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$15 (2 \cdot 0 - 1 \cdot 16)$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$15 (0 - 1 \cdot 16)$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$15 (0 - 16)$

Passaggio 5.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$15 \cdot - 16$

Passaggio 5.3

Moltiplica $15$ per $- 16$ .

$- 240$