Calcolo Esempi

$\int {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} x^{3} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{4} + 4$ . Allora $d u = 4 x^{3} d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{4} + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{4} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2

$u^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 4$ .

$\frac{1}{6} {(x^{4} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C$