Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.5.2

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.1.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.1.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.11.3

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.11.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.14

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.15

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.1.15.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.15.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.15.3

$- 2$ e $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.15.4

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.17

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.18

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.19

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.20

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.21

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.1.21.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.21.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.21.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.22

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.23

Per scrivere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.25

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.25.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.25.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.25.3

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.25.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 1) - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.26

Semplifica ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.27

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.28

Somma $0$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.29

Riscrivi $\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ come un prodotto.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.30

Moltiplica $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1.1.31

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 1$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.31.1

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.31.1.1

Eleva $x^{2} + 1$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1.1.31.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 1.1.31.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.1.31.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 1.1.31.4

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato