Calcolo Esempi

${(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ e $g (x) = {(x + 5)}^{3}$ .

${(4 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 5$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x + 5$ .

${(4 x^{2} - 3)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

${(4 x^{2} - 3)}^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 5$ .

${(4 x^{2} - 3)}^{2} (3 {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ .

$3 \cdot {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5] + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (1 + 0) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} \cdot 1 + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x^{2} - 3$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + {(x + 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + {(x + 5)}^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x^{2} - 3$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + {(x + 5)}^{3} (2 (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 5)}^{3}$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 \cdot {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 5.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 5.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (8 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 5.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (8 x + 0)$

Passaggio 5.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.7.1

Somma $8 x$ e $0$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (8 x)$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $8$ per $2$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 16 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) x$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Scomponi $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2}$ da $3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 16 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) x$ .

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Passaggio 6.1.1

Scomponi $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2}$ da $3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ .

$(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3)) + 16 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) x$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2}$ da $16 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) x$ .

$(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3)) + (4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (16 (x + 5) x)$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2}$ da $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3)) + (4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (16 (x + 5) x)$ .

$(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3) + 16 (x + 5) x)$

Passaggio 6.2

Riordina i fattori di $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3) + 16 (x + 5) x)$ .

${(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3) + 16 (x + 5) x) (4 x^{2} - 3)$