Calcolo Esempi

$- 1 + x^{3} - 5 y^{3} = - y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (- 1 + x^{3} - 5 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 1 + x^{3} - 5 y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 y^{3}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$0 + 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$0 + 3 x^{2} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2} - 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$0 + 3 x^{2} - 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$0 + 3 x^{2} - 5 (3 y^{2} y')$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$0 + 3 x^{2} - 15 y^{2} y'$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 15 y^{2} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- 2 y y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} - 15 y^{2} y' = - 2 y y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Somma $2 y y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 15 y^{2} y' + 2 y y' = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 15 y^{2} y' + 2 y y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3

Scomponi $y y'$ da $- 15 y^{2} y' + 2 y y'$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $y y'$ da $- 15 y^{2} y'$ .

$y y' (- 15 y) + 2 y y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y y'$ da $2 y y'$ .

$y y' (- 15 y) + y y' \cdot 2 = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y y'$ da $y y' (- 15 y) + y y' \cdot 2$ .

$y y' (- 15 y + 2) = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.4

Dividi per $y (- 15 y + 2)$ ciascun termine in $y y' (- 15 y + 2) = - 3 x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $y (- 15 y + 2)$ ciascun termine in $y y' (- 15 y + 2) = - 3 x^{2}$ .

$\frac{y y' (- 15 y + 2)}{y (- 15 y + 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 15 y + 2)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (- 15 y + 2)}{y (- 15 y + 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 15 y + 2)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (- 15 y + 2)}{- 15 y + 2} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 15 y + 2)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $- 15 y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 15 y + 2)}{- 15 y + 2} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 15 y + 2)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 15 y + 2)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- 15 y + 2)}$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 15 y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- (15 y) + 2)}$

Passaggio 5.4.3.3

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- (15 y) - 1 (- 2))}$

Passaggio 5.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (15 y) - 1 (- 2)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- (15 y - 2))}$

Passaggio 5.4.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.4.3.5.1

Riscrivi $- (15 y - 2)$ come $- 1 (15 y - 2)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- 1 (15 y - 2))}$

Passaggio 5.4.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{y (15 y - 2)}$

Passaggio 5.4.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{y (15 y - 2)}$

Passaggio 5.4.3.5.4

Moltiplica $\frac{3 x^{2}}{y (15 y - 2)}$ per $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{y (15 y - 2)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y (15 y - 2)}$