Calcolo Esempi

$- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- \frac{2}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{5} x^{6}$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$- \frac{2}{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 (\frac{2}{5}) x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.2.4

$- 6$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 6 \cdot 2}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$\frac{- 12}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.2.6

$\frac{- 12}{5}$ e $x^{5}$ .

$\frac{- 12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 (4 x^{3})$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f' (x) = - \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{12}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{12 x^{5}}{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- \frac{12}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 (\frac{12}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.4

$- 5$ e $\frac{12}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 12}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $- 5$ per $12$ .

$\frac{- 60}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.6

$\frac{- 60}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 60 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.7

Elimina il fattore comune di $- 60$ e $5$ .

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Passaggio 2.2.7.1

Scomponi $5$ da $- 60 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.7.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 12 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.7.2.4

Dividi $- 12 x^{4}$ per $1$ .

$- 12 x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{4} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 12 x^{4} + 20 (3 x^{2})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$f'' (x) = - 12 x^{4} + 60 x^{2}$