Calcolo Esempi

$\int_{0}^{0.5} x {(1 - x)}^{3} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Passaggio 1.3

Sottrai $0$ da $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 0.5$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $0.5$ .

$u_{upper} = 1 - 0.5$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $0.5$ da $1$ .

$u_{upper} = 0.5$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0.5$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{0.5} - (- u + 1) u^{3} d u$

Passaggio 2

Moltiplica $- (- u + 1) u^{3}$ .

$\int_{1}^{0.5} - - u u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int_{1}^{0.5} 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica $u$ per $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Passaggio 3.3

Moltiplica $u$ per $u^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $u$ per $u^{3}$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{1} u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Passaggio 3.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{0.5} u^{1 + 3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Passaggio 3.3.2

Somma $1$ e $3$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 u^{3} d u$

Passaggio 3.5

Riscrivi $- 1 u^{3}$ come $- u^{3}$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - u^{3} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{0.5} u^{4} d u + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - \int_{1}^{0.5} u^{3} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{0.5})$

Passaggio 8

$\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $\frac{1}{5} u^{5}$ per $0.5$ e per $1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

Passaggio 9.2

Calcola $\frac{u^{4}}{4}$ per $0.5$ e per $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

Eleva $0.5$ alla potenza di $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0.03125 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Passaggio 9.3.2

$\frac{1}{5}$ e $0.03125$ .

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Passaggio 9.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Passaggio 9.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{0.03125 - 1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Passaggio 9.3.6

Sottrai $1$ da $0.03125$ .

$\frac{- 0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Passaggio 9.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Passaggio 9.3.8

Eleva $0.5$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Passaggio 9.3.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1}{4})$

Passaggio 9.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{0.0625 - 1}{4}$

Passaggio 9.3.11

Sottrai $1$ da $0.0625$ .

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{- 0.9375}{4}$

Passaggio 9.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{0.96875}{5} - - \frac{0.9375}{4}$

Passaggio 9.3.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{0.96875}{5} + 1 (\frac{0.9375}{4})$

Passaggio 9.3.14

Moltiplica $\frac{0.9375}{4}$ per $1$ .

$- \frac{0.96875}{5} + \frac{0.9375}{4}$

Passaggio 9.3.15

Per scrivere $- \frac{0.96875}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4}$

Passaggio 9.3.16

Per scrivere $\frac{0.9375}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 9.3.17

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $20$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 9.3.17.1

Moltiplica $\frac{0.96875}{5}$ per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 9.3.17.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 9.3.17.3

Moltiplica $\frac{0.9375}{4}$ per $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Passaggio 9.3.17.4

Moltiplica $4$ per $5$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{20}$

Passaggio 9.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 0.96875 \cdot 4 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

Passaggio 9.3.19

Moltiplica $- 0.96875$ per $4$ .

$\frac{- 3.875 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

Passaggio 9.3.20

Moltiplica $0.9375$ per $5$ .

$\frac{- 3.875 + 4.6875}{20}$

Passaggio 9.3.21

Somma $- 3.875$ e $4.6875$ .

$\frac{0.8125}{20}$

Passaggio 10

Dividi $0.8125$ per $20$ .

$0.040625$

Passaggio 11