Calcolo Esempi

$y = \cos (x^{2}) \cdot \sin (x^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x^{2})$ e $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Passaggio 3

Eleva $\cos (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Passaggio 4

Eleva $\cos (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Passaggio 5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 6.1

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2}$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 7.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 8

Eleva $\sin (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - (\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 9

Eleva $\sin (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - (\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 11

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$

Passaggio 13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 13.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - 2 \sin^{2} (x^{2}) x$

Passaggio 13.2

Riordina i termini.

$2 x \cos^{2} (x^{2}) - 2 x \sin^{2} (x^{2})$