Calcolo Esempi

$\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 2 + \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 2 + \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

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Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Passaggio 4.1.4

Somma $0$ e $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Passaggio 7

Riscrivi $- u^{- 1} + C$ come $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 + \sin (x)$ .

$- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$

Passaggio 9

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$