Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}}} d x$

Passaggio 2

Sia $x = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}$ .

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Passaggio 3.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Passaggio 3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} \cos (t) d t$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{6} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi $\cos^{6} (t)$ come ${(\cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{3} (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Passaggio 3.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $\cos (t)$ da $\cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 4

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ a $\sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Poiché la derivata di $\tan (t)$ è $\sec^{2} (t)$ , l'integrale di $\sec^{2} (t)$ è $\tan (t)$ .

$\tan (t) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (x)$ .

$\tan (\arcsin (x)) + C$