Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{\sqrt{x} - \sqrt{5}}$

Passaggio 1

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x} + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x} + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 2.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 2.8

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite di $\sqrt{1}$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Passaggio 6.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}}$

Passaggio 6.4

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Passaggio 8.1.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Passaggio 8.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Passaggio 8.1.5

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{0^{2}}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Passaggio 8.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1 - 0}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Passaggio 8.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Passaggio 8.1.8

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{1 - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{1}{1 - \sqrt{0}}$

Passaggio 8.2.3

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{1}{1 - \sqrt{0^{2}}}$

Passaggio 8.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{1 - 0}$

Passaggio 8.2.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Passaggio 8.2.6

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 8.3

Dividi $1$ per $1$ .

$1$