Calcolo Esempi

$x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $x^{2} e^{x^{3} + 1}$ come funzione.

$f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x^{2} e^{x^{3} + 1} d x$

Passaggio 4

Sia $u = x^{3} + 1$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = x^{3} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 5

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$\frac{1}{3} e^{u} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$