Calcolo Esempi

$y^{x y}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $y^{x y}$ come $e^{\ln (y^{x y})}$ .

$\frac{d}{d y} [e^{\ln (y^{x y})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln (y^{x y})$ spostando $x y$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d y} [e^{x y \ln (y)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x y \ln (y)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y \ln (y)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Passaggio 3

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y \ln (y)$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ .

$e^{x y \ln (y)} (x \frac{d}{d y} [y \ln (y)])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Passaggio 5

La derivata di $\ln (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 6.1

$y$ e $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Passaggio 6.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \cdot 1))$

Passaggio 6.4

Moltiplica $\ln (y)$ per $1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y)))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1 + x \ln (y))$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1) + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

Passaggio 7.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

Passaggio 7.4

Riordina i termini.

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} x \ln (y)$