Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} (2 x)}{{(2 x)}^{2}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (2 x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.1.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\sin^{2} (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Sposta l'esponente $2$ da ${(2 x)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 2 x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{{(2 lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{{(2 \cdot 0)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} (2 x)}{{(2 x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos^{2} (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos^{2} (2 x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.3.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) \cdot 2))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- 2 \sin (2 x)))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.8

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 4 \cos (2 x) \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.9

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $0$ e $4 \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.6

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [2^{2} x^{2}]}$

Passaggio 1.3.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{4 (2 x)}$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $2$ per $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{8 x}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $4$ da $4 \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{8 x}$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $4$ da $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{4 (2 x)}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{4 (2 x)}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{2 x}$

Passaggio 2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{x}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x) \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.7.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.7.3

Moltiplica $\sin (2 \cdot 0)$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.7.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.7.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (2 x)$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{{\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.11

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.12

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.12.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.12.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.12.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.13

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.14

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.16

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.17

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.18

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.19

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.20

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.21

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}{1}$

Passaggio 3.4

Dividi $2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Passaggio 4.3

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (2 x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} (2 {(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2} - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Passaggio 4.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Passaggio 4.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Passaggio 4.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \sin^{2} (2 x))$

Passaggio 4.7

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (2 x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} \sin (2 x))}^{2})$

Passaggio 4.8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 \sin^{2} (lim_{x \to 0} 2 x))$

Passaggio 4.9

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (0) - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Passaggio 6.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 1^{2} - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Passaggio 6.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 1 - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Passaggio 6.1.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \sin^{2} (0))$

Passaggio 6.1.6

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \cdot 0^{2})$

Passaggio 6.1.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 6.1.8

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (2 + 0)$

Passaggio 6.2

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi l'espressione.

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