Calcolo Esempi

$\int_{0}^{4} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x - 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Passaggio 1.3

Sottrai $2$ da $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 4 - 2$

Passaggio 1.5

Sottrai $2$ da $4$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 2}^{2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{- 2}^{2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 2}^{2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int_{- 2}^{2} u^{- 2} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{- 2}^{2}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $- u^{- 1}$ per $2$ e per $- 2$ .

$(- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} + {(- 2)}^{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2}$

Passaggio 4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $- \frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.5

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2}$

Passaggio 4.2.6

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 4.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Passaggio 4.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 4.2.6.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 5