Calcolo Esempi

$y = {(x^{3} + 2 x + 1)}^{5}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{3} + 2 x + 1)}^{5})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{3} + 2 x + 1$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} + 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} + 2 x + 1$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 + 0)$

Passaggio 3.2.7

Somma $3 x^{2} + 2$ e $0$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$