Calcolo Esempi

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ come funzione.

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x) d x$

Passaggio 4

Metti in evidenza $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \cdot (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

Passaggio 5

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (x)$ come $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \cdot ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

Passaggio 6

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Passaggio 7

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 7.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 8

Moltiplica $u^{2} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u$

Passaggio 9.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sposta $u^{2}$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u$

Passaggio 9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u$

Passaggio 9.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u$

Passaggio 9.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $u^{4}$ .

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u$

Passaggio 9.4

Riscrivi $- 1 u^{4}$ come $- u^{4}$ .

$\int u^{2} - u^{4} d u$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u$

Passaggio 13

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$