Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x^{3} + x^{2} - 21 x + 24}{x^{2} + 2 x - 8} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi usando la divisione tra polinomi in colonna.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

Passaggio 1.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

Passaggio 1.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} + 4 x^{2} - 16 x$

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

Passaggio 1.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

Passaggio 1.1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

Passaggio 1.1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$24$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$24$

Passaggio 1.1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$2 x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$24$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$24$
							-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$24$

Passaggio 1.1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{2} - 6 x + 24$

$2 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

$3 x^{2}$

$6 x$

$24$

Passaggio 1.1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

$3 x^{2}$

$6 x$

$24$

$x$

$0$

Passaggio 1.1.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$2 x - 3 + \frac{x}{x^{2} + 2 x - 8}$

Passaggio 1.2

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $x^{2} + 2 x - 8$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $2$ .

$- 2, 4$

Passaggio 1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{x}{(x - 2) (x + 4)}$

Passaggio 1.2.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

Passaggio 1.2.3

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 4}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 2) (x + 4)$ .

$\frac{x (x - 2) (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x - 2) (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.2.6

Elimina il fattore comune di $x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.2.6.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.2.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{A (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.2.7.1.2

Dividi $(A) (x + 4)$ per $1$ .

$x = (A) (x + 4) + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.2.7.3

Sposta $4$ alla sinistra di $A$ .

$x = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.2.7.4

Elimina il fattore comune di $x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = A x + 4 A + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.2.7.4.2

Dividi $(B) (x - 2)$ per $1$ .

$x = A x + 4 A + (B) (x - 2)$

Passaggio 1.2.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + 4 A + B x + B \cdot - 2$

Passaggio 1.2.7.6

Sposta $- 2$ alla sinistra di $B$ .

$x = A x + 4 A + B x - 2 B$

Passaggio 1.2.8

Sposta $4 A$ .

$x = A x + B x + 4 A - 2 B$

Passaggio 1.3

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 1.3.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 4 A - 2 B$

Passaggio 1.3.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$0 = 4 A - 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 4 A - 2 B$

Passaggio 1.4

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 4 A - 2 B$

Passaggio 1.4.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$0 = 4 A - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 A - 2 B$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = 4 A - 2 B$ con $1 - B$ .

$0 = 4 (1 - B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica $4 (1 - B) - 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = 4 \cdot 1 + 4 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$0 = 4 + 4 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$0 = 4 - 4 B - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 4 B - 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Sottrai $2 B$ da $- 4 B$ .

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.3

Risolvi per $B$ in $0 = 4 - 6 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Riscrivi l'equazione come $4 - 6 B = 0$ .

$4 - 6 B = 0$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.3.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 B = - 4$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.3.3

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 B = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.3.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 B = - 4$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.3.3.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 4$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 6}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.3.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.3.3.1.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 6$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.3.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.3.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{2}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $\frac{2}{3}$ .

$A = 1 - (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.4.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1

Semplifica $1 - (\frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.4.4.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{3 - 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.4.4.2.1.3

Sottrai $2$ da $3$ .

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.4.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.5

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $2 x - 3 + \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 4}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$2 x - 3 + \frac{\frac{1}{3}}{x - 2} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 x - 3 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x - 2}$ .

$2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

Passaggio 1.6.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x + 4}$

Passaggio 1.6.4

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{x + 4}$ .

$\int 2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 x d x + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Passaggio 6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 2} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Passaggio 8

Sia $u_{1} = x - 2$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{1} = x - 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Passaggio 10

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x + 4} d x$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = x + 4$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = x + 4$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Passaggio 11.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 11.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 11.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| u_{1} |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| x - 2 |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 4$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| x - 2 |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| x + 4 |) + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$x^{2} - 3 x + \frac{1}{3} \ln (| x - 2 |) + \frac{2}{3} \ln (| x + 4 |) + C$