Calcolo Esempi

$f (x) = 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 5 e^{2 x + 3} d x + \int 4 x^{2} d x$

Passaggio 4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int e^{2 x + 3} d x + \int 4 x^{2} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 2 x + 3$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 2 x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 5.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 4 x^{2} d x$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 4 x^{2} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 4 x^{2} d x$

Passaggio 8

$\frac{1}{2}$ e $5$ .

$\frac{5}{2} \int e^{u} d u + \int 4 x^{2} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \int 4 x^{2} d x$

Passaggio 10

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + 4 \int x^{2} d x$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

$\frac{5}{2} e^{u} + 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Passaggio 12.2

$4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} e^{u} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 3$ .

$\frac{5}{2} e^{2 x + 3} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{2} e^{2 x + 3} + \frac{4}{3} x^{3} + C$