Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} \frac{x}{{(1 + 2 x^{2})}^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + 2 x^{2}$ . Allora $d u = 4 x d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + 2 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$0 + 4 x$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $4 x$ .

$4 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.5.1.1.1

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ .

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Passaggio 1.5.1.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Passaggio 1.5.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Passaggio 1.5.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Passaggio 1.5.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $8$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- 2} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} - u^{- 1}]_{1}^{9}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $- u^{- 1}$ per $9$ e per $1$ .

$\frac{1}{4} ((- 9^{- 1}) + 1^{- 1})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1)$

Passaggio 6.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + \frac{9}{9})$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1 + 9}{9}$

Passaggio 6.2.5

Somma $- 1$ e $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{9}$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{4 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.7

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\frac{8}{36}$

Passaggio 6.2.8

Elimina il fattore comune di $8$ e $36$ .

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Passaggio 6.2.8.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 (2)}{36}$

Passaggio 6.2.8.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.8.2.1

Scomponi $4$ da $36$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{9}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2}{9}$

Forma decimale:

$0.\overline{2}$

Passaggio 8