Calcolo Esempi

$\int \frac{4 x + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

Passaggio 1

Scomponi $2$ da $4 x + 2$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$\int \frac{2 (2 x) + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

Passaggio 1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int \frac{2 (2 x) + 2 (1)}{x^{2} + x + 5} d x$

Passaggio 1.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2} + x + 5} d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 5} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x^{2} + x + 5$ . Allora $d u = (2 x + 1) d x$ , quindi $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = x^{2} + x + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x^{2} + x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 5]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.1.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Passaggio 3.1.6

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$2 x + 1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$2 \ln (| u |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + x + 5$ .

$2 \ln (| x^{2} + x + 5 |) + C$