Calcolo Esempi

$\ln (x y) + 5 x = 30$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y) + 5 x) = \frac{d}{d x} (30)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (x y) + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y + 5$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.2.1

$x$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y + 5$

Passaggio 2.4.2.2

$\frac{x}{x y}$ e $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Passaggio 2.4.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Passaggio 2.4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Passaggio 2.4.2.4

$\frac{1}{x y}$ e $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 5$

Passaggio 2.4.2.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 5$

Passaggio 2.4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 5$

Passaggio 3

Poiché $30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $30$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 5 = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $\frac{1}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y'}{y} + 5 = - \frac{1}{x}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{x} - 5$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Passaggio 5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.1

Semplifica $(- \frac{1}{x} - 5) y$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = - \frac{1}{x} y - 5 y$

Passaggio 5.3.2.1.2

$y$ e $\frac{1}{x}$ .

$y' = - \frac{y}{x} - 5 y$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - 5 y$