Calcolo Esempi

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{27 - \sqrt{x^{3}}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 27 - lim_{x \to 9} \sqrt{x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $27$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{27 - lim_{x \to 9} \sqrt{x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{0}{27 - \sqrt{lim_{x \to 9} x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{27 - \sqrt{{(lim_{x \to 9} x)}^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{0}{27 - \sqrt{9^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$\frac{0}{27 - \sqrt{729}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Riscrivi $729$ come $27^{2}$ .

$\frac{0}{27 - \sqrt{27^{2}}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{0}{27 - 1 \cdot 27}$

Passaggio 1.1.3.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$\frac{0}{27 - 27}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $27$ da $27$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{27 - \sqrt{x^{3}}} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - \sqrt{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.4.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.4.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.4.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.4.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.4.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ da $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $27 - \sqrt{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]}$

Passaggio 1.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]}$

Passaggio 1.3.8.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}$

Passaggio 1.3.8.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}$

Passaggio 1.3.8.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Passaggio 1.3.8.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Passaggio 1.3.8.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Passaggio 1.3.8.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}$

Passaggio 1.3.8.7.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.3.8.8

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Passaggio 1.3.9

Sottrai $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ da $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.5

Converti gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} (- \frac{2}{3 \sqrt{x}})$

Passaggio 1.6

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 9} 1 \frac{1}{2 \sqrt{x}} \frac{2}{3 \sqrt{x}}$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{3 \sqrt{x}}$

Passaggio 1.6.3

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ per $\frac{2}{3 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{2 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})}$

Passaggio 1.6.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Passaggio 1.6.5

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Passaggio 1.6.6

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Passaggio 1.6.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.6.8

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 {\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 1.7

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (1)}{6 {\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 1.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Scomponi $2$ da $6 {\sqrt{x}}^{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (1)}{2 (3 {\sqrt{x}}^{2})}$

Passaggio 1.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 9} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 {\sqrt{x}}^{2})}$

Passaggio 1.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 9} \frac{1}{3 {\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{1}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} {\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 9} {\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 2.4

Sposta l'esponente $2$ da ${\sqrt{x}}^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 9} \sqrt{x})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt{9}}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina.

$\frac{1 \cdot 1}{3 {\sqrt{9}}^{2}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{3 {\sqrt{9}}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{3 {\sqrt{3^{2}}}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{3 \cdot 3^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{3 \cdot 9}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{1}{27}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{27}$

Forma decimale:

$0.\overline{037}$