Calcolo Esempi

$\int \frac{2 e^{\frac{1}{x^{2}}}}{3 x^{3}} d x$

Passaggio 1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} \int \frac{e^{\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = \frac{1}{x^{2}}$ . Allora $d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ , quindi $1 d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = \frac{1}{x^{2}}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.1.4.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

Passaggio 3

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- \frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{2}{6} \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

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Passaggio 4.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

$- \frac{1}{3} e^{u} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{x^{2}}} + C$