Calcolo Esempi

$\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ come funzione.

$f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)} d x$

Passaggio 4

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- d u = \sin (x) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{5}} d u$

Passaggio 5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{u^{5}} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta $u^{5}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- \int u^{- 5} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 5}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

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Passaggio 9.1.1

$u^{- 4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

Passaggio 9.1.2

Sposta $u^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

Passaggio 9.2

Semplifica.

$- - \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{1}{4 u^{4}}$ per $1$ .

$\frac{1}{4 u^{4}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\frac{1}{4 \cos^{4} (x)} + C$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{1}{4 (\cos^{4} (x) \cdot 1)} + C$

Passaggio 11.2

Frazioni separate.

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + C$

Passaggio 11.3

Converti da $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ a $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{4} (x) + C$

Passaggio 11.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Passaggio 11.5

$\frac{1}{4}$ e $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{\sec^{4} (x)}{4} + C$

Passaggio 11.6

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$