Calcolo Esempi

${(\frac{1}{2})}^{4 x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [{(\frac{1}{2})}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2})}^{u} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

${(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2^{2} {(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{2}$ come $2^{- 1}$ .

$2^{2} {(2^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$2^{2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2^{2} {(2^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{- 1})}^{4 x}$ .

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Passaggio 6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2} \cdot 2^{- (4 x)} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2^{2} \cdot 2^{- 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \cdot 1$

Passaggio 9

Moltiplica $2^{2 - 4 x}$ per $1$ .

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2})$