Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{3} + 8 x^{2} + 46$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{3} + 8 x^{2} + 46$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.2.3

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.2.5.2.4

Dividi $2 x^{3}$ per $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [46]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $46$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $46$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$ e $0$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (16 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (16 x)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 24 x + 16 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 24 x + 16 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 24 x + 16$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.2.4

$\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.2.5.2.4

Dividi $2 x^{3}$ per $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$f' (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} (46)$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $46$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $46$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 12 x^{2} + 16 x = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 12 x^{2}$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 16 x = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $2 x$ da $16 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x (8) = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{2}) + 2 x (- 6 x)$ .

$2 x (x^{2} - 6 x) + 2 x (8) = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{2} - 6 x) + 2 x (8)$ .

$2 x (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 6 x + 8$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $8$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 4, - 2$

Passaggio 5.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$2 x ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x (x - 4) (x - 2) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (x - 4) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 4, 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 4, 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 16$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$6 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 16$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $6$ per $0$ .

$0 - 24 \cdot 0 + 16$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 24$ per $0$ .

$0 + 0 + 16$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 16$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $16$ .

$16$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} + 46$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 - 4 {(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} + 46$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} + 46$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 8 {(0)}^{2} + 46$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 8 {(0)}^{2} + 46$

Passaggio 11.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 8 \cdot 0 + 46$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $8$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 46$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 46$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 46$

Passaggio 11.2.2.3

Somma $0$ e $46$ .

$f (0) = 46$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $46$ .

$y = 46$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 + 16$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$6 \cdot 16 - 24 \cdot 4 + 16$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $6$ per $16$ .

$96 - 24 \cdot 4 + 16$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 24$ per $4$ .

$96 - 96 + 16$

Passaggio 13.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $96$ da $96$ .

$0 + 16$

Passaggio 13.2.2

Somma $0$ e $16$ .

$16$

Passaggio 14

$x = 4$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot {(4)}^{4} - 4 {(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} + 46$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot 256 - 4 {(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} + 46$

Passaggio 15.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $256$ .

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot (2 (128)) - 4 {(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} + 46$

Passaggio 15.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 128) - 4 {(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} + 46$

Passaggio 15.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (4) = 128 - 4 {(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} + 46$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (4) = 128 - 4 \cdot 64 + 8 {(4)}^{2} + 46$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $64$ .

$f (4) = 128 - 256 + 8 {(4)}^{2} + 46$

Passaggio 15.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = 128 - 256 + 8 \cdot 16 + 46$

Passaggio 15.2.1.6

Moltiplica $8$ per $16$ .

$f (4) = 128 - 256 + 128 + 46$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Sottrai $256$ da $128$ .

$f (4) = - 128 + 128 + 46$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $- 128$ e $128$ .

$f (4) = 0 + 46$

Passaggio 15.2.2.3

Somma $0$ e $46$ .

$f (4) = 46$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $46$ .

$y = 46$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 16$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$6 \cdot 4 - 24 \cdot 2 + 16$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $6$ per $4$ .

$24 - 24 \cdot 2 + 16$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica $- 24$ per $2$ .

$24 - 48 + 16$

Passaggio 17.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Sottrai $48$ da $24$ .

$- 24 + 16$

Passaggio 17.2.2

Somma $- 24$ e $16$ .

$- 8$

Passaggio 18

$x = 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{1}{2} \cdot {(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3} + 8 {(2)}^{2} + 46$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1.1

Scomponi $2$ da ${(2)}^{4}$ .

$f (2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) - 4 {(2)}^{3} + 8 {(2)}^{2} + 46$

Passaggio 19.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) - 4 {(2)}^{3} + 8 {(2)}^{2} + 46$

Passaggio 19.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2) = 2^{3} - 4 {(2)}^{3} + 8 {(2)}^{2} + 46$

Passaggio 19.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = 8 - 4 {(2)}^{3} + 8 {(2)}^{2} + 46$

Passaggio 19.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = 8 - 4 \cdot 8 + 8 {(2)}^{2} + 46$

Passaggio 19.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$f (2) = 8 - 32 + 8 {(2)}^{2} + 46$

Passaggio 19.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 8 - 32 + 8 \cdot 4 + 46$

Passaggio 19.2.1.6

Moltiplica $8$ per $4$ .

$f (2) = 8 - 32 + 32 + 46$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Sottrai $32$ da $8$ .

$f (2) = - 24 + 32 + 46$

Passaggio 19.2.2.2

Somma $- 24$ e $32$ .

$f (2) = 8 + 46$

Passaggio 19.2.2.3

Somma $8$ e $46$ .

$f (2) = 54$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $54$ .

$y = 54$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{3} + 8 x^{2} + 46$ .

$(0, 46)$ è un minimo locale

$(4, 46)$ è un minimo locale

$(2, 54)$ è un massimo locale

Passaggio 21